Aplicación de la derivada en la ecuación.

Aplicación de la derivada en la ecuación.

Para determinar la ecuación de la línea tangente en base a la función de una grafica es necesario tener la ecuación de una función y un punto ejemplo.

y= x² - 4x en el punto (3, -3)

Pasos
1) Definir la ecuación de la función: y= 2x – 4
2) Determinar la pendiente de la ecuación sustituyendo el valor de x:
y= 2(3) – 4= m= 6 – 4 m= 2
3) Sustituir la ecuación punto pendiente con los valores del punto y la pendiente.
y – y1= m (x – x1)
y - -3= 2 (x – 3)
y + 3= 2x - 6
4) Despejar la variable y, su resultado será la ecuación de “la línea tangente” que intersecta una función.

y= 2x - 6 - 3
y= 2x - 9

II.- Determina la evolución de la recta tangente de la función f(x)= 2x² + 3x + 4 y el punto (2, 4).

f(x)= 4x + 3
f(x)= 4(2) + 3
f(x)= 8 + 3
f(x)= 11

y - y1= m (x - x1)
y - 4= 11 (x - 2)
y - 4= 11x - 22
y= 11x - 22 + 4

R = y= 11x -18

III.- x² - 1/x² en (-1, -2)

2x - 1x‾ ²
2x + 2x‾ ³
2(-1) - 2
-2 -2 = -4

y - y1= m (x - x1)
y - 2= -4 (x - -1)
y - 2= -4 (x + 1)
y - 2= -4x -4
y= -4x -4 + 2
R = y= -4x -2

Triptico 2

La parábola.

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cartesiano, cuya distancia a un punto fijo; llamada foco: es igual a la distancia a una recta llamada directriz.
Cuando en la ecuación viene “Y=x”, la parábola abrirá hacia los lados, si “x” es positiva abre hacia la derecha y si es negativa hacia la izquierda.

Cuando en la ecuación viene “x=y” la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
Si “y” es positiva abre hacia arriba y si es negativa abre hacia abajo.

Ejemplo de parábola con vértice en el origen: x^2=-16y
Determina:
a) la abertura: abajo
b) el punto del foco: (0,a)
El valor de “a” se determina dividiendo el valor de y entre 4. Entonces el punto del foco seria
(0,-4) porque a= -16/4=-4
c) el valor del lado recto: LR=4aLR=16
d) coordenadas del foco: (2a,a)(-2a,a) =(-8,-4)(8,-4)
e) directriz: d=-(a) d=4
f) ecuación de la directriz: y=4

Ejemplo de una parábola con vértice en un cuadrante (vertical):
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (2,3) y foco (6,3).
a=x-h a=6-2=4
(y-k) =4a(x-h)
(y-3) =16(x-2)
〖 y〗^2-6y+9=12x+24
〖 y〗^2-6y-16x+9+32=0
〖 y〗^2-6y-12x+41=0
a) la abertura: derecha
b)el valor del lado recto: LR=4aLR=16
c) coordenadas del foco: (h+a, k+2a) (h+a, k-2a)=(6,11) (6,-5)
d) directriz: d=h-a d=-2

Ejemplo de una parábola con vértice en un cuadrante (horizontal):
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (3,5) y foco (3,4).
a=y-k =a-5 a=-1
(x-h) =4a(y-k)
(x-3) =4(-1-(-5))
x^2-6x+9=-4y+20
x^2-6x+4y+9-20=0
x^2-6x+4y-11=0
a) la abertura: abajo
b) el valor del lado recto: LR=4aLR=4
c) coordenadas del foco: (h-2a,k+a) (h+2a,k+a) (5,4) (1,4)
d) directriz: d=k-a d=5+1 d=6

Triptico 1

LAS SECCIONES CÓNICAS.


Los círculos, parábolas, elipses e hipérbolas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. La curva que se obtiene en cada corte depende de la inclinación del plano.
A estas curvas se les llama secciones cónicas.
Las figuras cónicas o secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen cuando se interseca un cono circular recto de 2 mantas en un plano.
La ecuación ordinaria o reducida de la circunferencia es: (x-h)^2 +(y-k)^2 =r^2(el símbolo ^ significa elevado).
Cuando se tiene el centro en el origen y te dan un determinado radio, siempre la ecuación quedara x +y =rEjemplo: coordenadas del centro C(0,0) y r=5
La ecuación quedaría x^2 +y^2 =25.
Cuando te dan puntos distintos al origen y un radio, se sustituyen los puntos en la ecuación ordinaria.
El primer punto de C será h y el segundo será K.
Ejemplo: C(-4,3) y r=5Quedaría (x+4)^2 +(y-3)^ =25
Después se elevan todos los valores al cuadrado para poder encontrar la ecuación de la circunferencia.
La ecuación ya elevando los valores quedaría de la siguiente manera:x^2 +y^2+8x+16+y–6y+9=25x^2 +y^2 +8x-6y+25-25=0x^2 +y^2 +8x-6y=0


Otro de los casos que se pueden presentar para poder encontrar la ecuación de la circunferencia podría ser cuando te den las coordenadas del centro y las coordenadas de un punto, pero aquí tu tienes que encontrar el radio.
Primero hay que sacar el radio con la sig.
Ecuación d=(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2
Y ya después los valores se sustituyen en la ecuación ordinaria de la circunferencia.
Ejemplo: C(7,5) p(3,-2)
d= (3-7)^2 +(-2-5)^2
d= 65
(x-7)^2 +(y-5)^2 = 65
x^2 +y^2 –14x-10y+74-65=0
x^2 +y^2 –14x-10y+9=0.
Por último, pueden pedirte la ecuación de la circunferencia, pero solo dándote los puntos de uno de sus diámetros, en estos casos primero hay que sacar los puntos medios de “x” y “y”, con las sig.
Ecuaciones:pmX=x1+x2/2 pmY=y1+y2/2. los puntos que den aquí serán los puntos de C y ya con estos puntos hay que sustituir los valores en la ecuación:r =(x-h)^2 +(y-k)^2 donde los puntos “x” y “Y” serán las coordenadas del primer punto del diámetro y “h” y “k” las coordenadas del punto del centro.
Después ya con todos los valores se sustituye la ecuación ordinaria de la circunferencia y se termina el problema.

Triptico 3

Capitulo 13: La derivada.


La derivada es una función continua con respecto a una variable del incremento de la función Δy es dividido entre Δx el limite del cociente Δy /Δx =Δx→0 si existe limite es derivada de la función.

Regla general de la derivada

F(x)= ax
F(x)= anx
Ejemplo.
el exponente se multiplica por el entero

5x
20x
Y al exponente se le quita uno

20x (4-1)= 3

20x ³

a) 10x ² - 6x= 20x – 6
b) 7x ³ - 10x= 21x ² -10
c) 8x + 6x ² -3= 32x³ +12x

como el (-3) no tiene variable se elimina.

Derivada de producto.

La formula de la derivada es la siguiente: f(x)= ab + ba

Primero tienes una formula
(F(x)= (4x-7) + (5x +2)

La primera (a) se pasa igual pero la (b) se deriva: (4x -7) (10x)
Después se le pone el signo de suma.
La segunda (b) no se deriva pero la (a) si: (5x ² +2) (4)
La formula quedara asi :
(4x -7)(10x)+ (5x ² +2)(4)

Ahora se multiplica y se simplifica.

40x ² -70x +20x ² +8
60x ² -70x +8.

a) (8x +3) + (2x -5)
(8x +3)(2) + (2x -5)(8)
16x + 6 + 16x -40
32x + 6 -40

b) (2x + 5) + (x ² -3x + 1)
(2x + 5)(2x -3) + (x ² -3x + 1)(2)
4x ² -6x + 10x -15 + 2x ² -6x + 2
6x ² -2x -13

Derivada de orden superior.

Expresiones derivadas de orden superior.

a) y1, y2, y3, y4….
b) f´, f´´, f´´´, f´´´´…..
etc.

Dada la función derivada f(x)= x ³ + 3x ² -2x -8 halla f´´´
(´´´) son las veces que se va a derivar la formula
F(x)= x ³ + 3x ² -2x -8
F´= 3x ² + 6x -2
F´´= 6x + 6
F´´´= 6


a) f´´(x)= 28x³ -21x² + 28x
f´=84x² -42
f´´=168x -42

b) y2(x)= 4x³ -9x² -6x + 15
y1= 12x² - 18x
y2= 24x -18

La dominada de un cociente.

La formula para derivar una función conciente es f(x)= ba´- b´a/ b²
Ejemplo:

Numerador: a → x -3 a´=1
Denominador: b → x²-5
b´= 2x

f(x)=(x² -5)(1) - (2x)(x-3)
(x² - 5)²

f(x)= x² - 5 – 2x² - 6x
(x² - 5)²

f(x)= x² - 6x – 5
(x² - 5)²

a) x² → a´ 2x
x² + 5 → b´ 2x

(x² + 5)(2x) – (2x)(x²)
(x² + 5)²

2x³ + 10x – 2x³ = 10x .
(x² + 5)² (x² + 5)²

b) 6u . → a´ 6
2 -3u → b´ -3

(2-3u)(6) – (-3)(6u)
(2 -3u)²

12 – 18u + 18u = 12 .
(2 -3u)² (2 -3u)²

Regla de la cadena.

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivar.

La regla del cociente se usa para derivar funciones de grado superior (que están elevadas por un exponente).

f(x)= (5x + 4)³

el exponente pasa a ser multiplicador y se le reta una unidad.

f(x)= 3(5x + 4)²
5= a´
f(x)= 3(5)(5x + 4)²
f(x)= 15(5x + 4)²

a) ½(x² - 7)²
2(½)(x² - 7)
a´= 2x
2/2(x² - 7)²
1(2x)(x² - 7)²
2x(x² - 7)²