Triptico 3

Capitulo 13: La derivada.


La derivada es una función continua con respecto a una variable del incremento de la función Δy es dividido entre Δx el limite del cociente Δy /Δx =Δx→0 si existe limite es derivada de la función.

Regla general de la derivada

F(x)= ax
F(x)= anx
Ejemplo.
el exponente se multiplica por el entero

5x
20x
Y al exponente se le quita uno

20x (4-1)= 3

20x ³

a) 10x ² - 6x= 20x – 6
b) 7x ³ - 10x= 21x ² -10
c) 8x + 6x ² -3= 32x³ +12x

como el (-3) no tiene variable se elimina.

Derivada de producto.

La formula de la derivada es la siguiente: f(x)= ab + ba

Primero tienes una formula
(F(x)= (4x-7) + (5x +2)

La primera (a) se pasa igual pero la (b) se deriva: (4x -7) (10x)
Después se le pone el signo de suma.
La segunda (b) no se deriva pero la (a) si: (5x ² +2) (4)
La formula quedara asi :
(4x -7)(10x)+ (5x ² +2)(4)

Ahora se multiplica y se simplifica.

40x ² -70x +20x ² +8
60x ² -70x +8.

a) (8x +3) + (2x -5)
(8x +3)(2) + (2x -5)(8)
16x + 6 + 16x -40
32x + 6 -40

b) (2x + 5) + (x ² -3x + 1)
(2x + 5)(2x -3) + (x ² -3x + 1)(2)
4x ² -6x + 10x -15 + 2x ² -6x + 2
6x ² -2x -13

Derivada de orden superior.

Expresiones derivadas de orden superior.

a) y1, y2, y3, y4….
b) f´, f´´, f´´´, f´´´´…..
etc.

Dada la función derivada f(x)= x ³ + 3x ² -2x -8 halla f´´´
(´´´) son las veces que se va a derivar la formula
F(x)= x ³ + 3x ² -2x -8
F´= 3x ² + 6x -2
F´´= 6x + 6
F´´´= 6


a) f´´(x)= 28x³ -21x² + 28x
f´=84x² -42
f´´=168x -42

b) y2(x)= 4x³ -9x² -6x + 15
y1= 12x² - 18x
y2= 24x -18

La dominada de un cociente.

La formula para derivar una función conciente es f(x)= ba´- b´a/ b²
Ejemplo:

Numerador: a → x -3 a´=1
Denominador: b → x²-5
b´= 2x

f(x)=(x² -5)(1) - (2x)(x-3)
(x² - 5)²

f(x)= x² - 5 – 2x² - 6x
(x² - 5)²

f(x)= x² - 6x – 5
(x² - 5)²

a) x² → a´ 2x
x² + 5 → b´ 2x

(x² + 5)(2x) – (2x)(x²)
(x² + 5)²

2x³ + 10x – 2x³ = 10x .
(x² + 5)² (x² + 5)²

b) 6u . → a´ 6
2 -3u → b´ -3

(2-3u)(6) – (-3)(6u)
(2 -3u)²

12 – 18u + 18u = 12 .
(2 -3u)² (2 -3u)²

Regla de la cadena.

Cada una de las funciones tiene su forma particular de derivar.

La regla del cociente se usa para derivar funciones de grado superior (que están elevadas por un exponente).

f(x)= (5x + 4)³

el exponente pasa a ser multiplicador y se le reta una unidad.

f(x)= 3(5x + 4)²
5= a´
f(x)= 3(5)(5x + 4)²
f(x)= 15(5x + 4)²

a) ½(x² - 7)²
2(½)(x² - 7)
a´= 2x
2/2(x² - 7)²
1(2x)(x² - 7)²
2x(x² - 7)²